Bài tập có liên quan đến chuyển động của dòng nước, gió.....

Bài 1 :Một ca nô chạy từ bến A đến bến B rồi lại trở về bến A trên một dòng sông. Hỏi nước sông chảy nhanh hay chậm thì vận tốc trung bình của ca nô trong suốt thời gian cả đi lẫn về sẽ lớn hơn?

Gọi v₁, v₂ lần lượt là vận tốc  của ca nô so với nước và vận tốc của nước đối với bờ.

     - Thời gian canô đi xuôi dòng:  \[{t_x} = \frac{{AB}}{{{v_1} + {v_2}}}\]

     - Thời gian canô đi ngược dòng: \[{t_n} = \frac{{AB}}{{{v_1} - {v_2}}}\]

  - Vận tốc trung bình của canô trong thời gian cả đi lẫn về

\[{v_{tb}} = \frac{{2AB}}{{{t_x} + {t_n}}} = \frac{{2AB}}{{\frac{{AB}}{{{v_1} + {v_2}}} + \frac{{AB}}{{{v_1} - {v_2}}}}} = \frac{{v_1^2 - v_2^2}}{{{v_1}}}\]

Ta thấy v₂ càng nhỏ thìv²₁- v²₂ càng lớn, nên v_tb càng lớn. Vậy nước sông chảy  chậm thì vận tốc trung bình của canô trong  thời gian cả đi lẫn về sẽ lớn hơn

Bài 2: Một chiếc thuyền khi xuôi dòng mất thời gian t₁, khi ngược dòng mất thời gian t₂. Hỏi nếu thuyền trôi theo dòng nước trên quãng đường trên sẽ mất bao nhiêu thời gian?

 Gọi v₁ ,v₂ lần lượt là vận tốc của thuyền đối với dòng nước, vận tốc của dòng nước đối với bờ sông. Gọi chiều dài đoạn sông đó là AB

Khi thuyền đi xuôi dòng ta có: \[{t_1} = \frac{{AB}}{{{v_1} + {v_2}}} \Leftrightarrow {v_1} + {v_2} = \frac{{AB}}{{{t_1}}}(1)\]

Khi thuyền đi ngược dòng ta có: \[{t_2} = \frac{{AB}}{{{v_1} - {v_2}}} \Leftrightarrow {v_1} - {v_2} = \frac{{AB}}{{{t_2}}}(2)\]

Nếu thuyền trôi theo dòng nước thì vận tốc của thuyền so với bờ lúc này chính bằng vận tốc của dòng nước so với bờ và bằng v₂. Vậy thời gian thuyền trôi theo dòng nước trên quãng đường AB là \[t = \frac{{AB}}{{{v_2}}}(3)\] 

Lấy (1) trừ (2) ta có:

\[2{v_2} = \frac{{AB}}{{{t_1}}} - \frac{{AB}}{{{t_2}}} = AB(\frac{{{t_2} - {t_1}}}{{{t_1}{t_2}}})\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{{v_2}}} = \frac{{2{t_1}{t_2}}}{{{t_2} - {t_1}}} = t\]

vậy \[t = \frac{{2{t_1}{t_2}}}{{{t_2} - {t_1}}}\]

vận dụng bằng số t₁=4h, t₁=6h,

Hai bến M và N cùng ở bên một bờ sông và cách nhau 120km. Nếu canô đi xuôi dòng từ M đến N thì mất 4h. Nếu canô chạy ngược dòng từ N về M với lực kéo cảu máy như khi xuôi dòng thì thời gian chạy tăng thêm 2h. Tìm vận tốc riêng của canô, của dòng nước? Tìm thời gian canô tắt máy đi từ M đến N

Bài 3: Trong một cuộc đua thuyền trên sông, mỗi thuyền phải đi từ một bến A xuôi xuống tới một cột mốc B, vòng quanh cột đó rồi trở về A. Vận tốc dòng nước là 2m/s. Một thuyền có vận tốc riêng 18km/h đã về nhất với tổng thời gian là 1h30 phút. Tính khoảng cách AB.

Bài 4:  Hai bến A và B ở bên một con sông mà nước chảy với vận tốc 1m/s. Một canô đi từ A tới B mất 2h30ph và từ B về A mất 3h45ph. Biết rằng vận tốc riêng của canô (tức là vận tốc đối với nước lặng) không thay đổi, hãy tính vận tốc ấy và khoảng cách giữa hai bến A và B.

Bài 5: Một canô chạy giữa hai bến sông cách nhau 90km. Vận tốc canô đối với nước là 25km/h và vận tốc nước chảy là 1,39m/s. Tìm thời gian canô đi ngược dòng từ bến nọ tới bến kia. Giả sử không nghỉ lại tại bến tới, tìm thời gian canô đi và về

Bài 6: Một thuyền đi từ A đến B (cách nhau 6km) mất thời gian 1h rồi lại đi từ B trở về A mất 1h30ph. Biết vận tốc của thuyền so với nước và vận tốc nước so với bờ không đổi.

Hỏi:

a.     Nước chảy theo chiều nào?

b.     Vận tốc thuyền so với nước và vận tốc nước so với bờ

c.      Muốn thời gian đi từ B về A cũng là 1h thì vận tốc của thuyền so với nước phải là bao nhiêu?

Bài 7: Một người đi xe máy từ thị trấn A đến một thị trấn B, rồi trở về. Lượt đi ngược gió, vận tốc bị giảm 4km/h nên đến trễ 15 phút so với khi không có gió. Lượt về, xuôi gió, vận tốc tăng được 4km/h nên tới nhà sớm hơn được 12 phút so với khi không có gió. Tính vận tốc riêng của xe và khoảng cách AB.

Gọi vận tốc riêng của xe là v_xe

Theo bài ra ta có v_g=4km/h

Đổi 15’=1/4h;    12’=1/5h;

Khi không có gió thì AB=v_xet (1)

Khi xe đi xuôi chiều gió ta có: 
\[{\rm{AB}} = {{\rm{v}}_{\rm{x}}}{{\rm{t}}_{\rm{x}}} = {\rm{ }}\left( {{{\rm{v}}_{{\rm{xe}}}} + {{\rm{v}}_{\rm{g}}}} \right)\left( {{\rm{t}} - \frac{1}{5}} \right)\]
\[ = {\rm{ }}\left( {{{\rm{v}}_{{\rm{xe}}}} + {\rm{4}}} \right)\left( {{\rm{t}} - \frac{1}{5}} \right)\]
\[ = {\rm{ }}{{\rm{v}}_{{\rm{xe}}}}{\rm{t}} + {\rm{4t}} - \frac{{{v_{xe}}}}{5} - \frac{4}{5}{\rm{ }} = {v_{xe}}t\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{4t}} - \frac{{{v_{xe}}}}{5} = \frac{4}{5}{\rm{ (2)}}\]

Khi xe đi ngược chiều gió ta có: 
\[{\rm{AB}} = {{\rm{v}}_n}{{\rm{t}}_n} = {\rm{ }}\left( {{{\rm{v}}_{{\rm{xe}}}}{\rm{ - }}{{\rm{v}}_{\rm{g}}}} \right)\left( {{\rm{t + }}\frac{1}{4}} \right)\]
\[ = {\rm{ }}\left( {{{\rm{v}}_{{\rm{xe}}}}{\rm{ - 4}}} \right)\left( {{\rm{t + }}\frac{1}{4}} \right)\]
\[ = {\rm{ }}{{\rm{v}}_{{\rm{xe}}}}{\rm{t - 4t + }}\frac{{{v_{xe}}}}{4} - 1 = {v_{xe}}t\]
\[ \Leftrightarrow  - {\rm{4t + }}\frac{{{v_{xe}}}}{4} = 1{\rm{ (3)}}\]
Cộng (3) với (2) ta có: 
\[\frac{{{v_{xe}}}}{{20}} = \frac{9}{5}\]
\[ \Leftrightarrow {v_{xe}} = 36km/h\]

Thay vào (3) ta có t=2(h)

Vậy quãng đường AB dài là AB=v_xet=36.2=72 km

Tương tự:

5.1. Một máy bay trực thăng hàng ngày chở đồ tiếp tế cho bộ đội đóng trên một hòn đảo. Một hôm, gặp gió thổi với vận tốc 25 km/h. Lượt bay xuôi gió, thì đến sớm được 15 ph, lúc bay về ngược gió lại bị trễ 20 ph so với khi không có gió. Hãy tính vận tốc riêng của máy bay và khoảng cách từ đất liền tới hòn đảo

   5.2Trên một tuyến bay, hằng ngày một máy bay bay với vận tốc không đổi giữa hai sân bay A và B. Khi không có gió thì thời gian mỗi chuyến bay là 3h30ph. Khi bay xuôi chiều gió thì thời gian bay giảm được 10ph. Biết vận tốc gió là 30km/h, hãy tính độ tăng thời gian khi bay ngược chiều gió

Bài 8: Một người đạp xe với vận tốc không đổi từ một thị trấn A đến một thị trấn B. Lượt đi ngược gió nên vận tốc giảm 3km/h, lượt về xuôi gió vận tốc tăng 3km/h, nhờ đó thời gian về giảm được 48 ph và chỉ bằng 5/7 thời gian đi. Tính khoảng cách AB.

Bài 9: Một cầu thang cuốn đưa hành khách từ tầng trệt lên tầng lầu trong siêu thị. Cầu thang trên đưa một người hành khách đứng yên lên lầu trong thời gian t₁ = 1 phút. Nếu  cầu thang không chuyển động thì người hành khách đó phải đi mất thời gian t₂ = 3 phút. Hỏi nếu cầu thang chuyển động, đồng thời người khách đi trên nó thì phải mất bao lâu để đưa người đó lên lầu.

Gọi v₁: vận tốc chuyển động của thang ; v₂ : vận tốc người đi bộ.

*Nếu người đứng yên còn thang chuyển động thì chiều dài thang được tính:

       s = v₁.t₁\[ \Rightarrow {v_1} = \frac{s}{{{t_1}}}(1)\]

_{*Nếu thang đứng yên, còn người chuyển động trên mặt thang thì chiều dài thang được tính:}

_{\[s = {v_2}{t_2} \Rightarrow {v_2} = \frac{s}{{{t_2}}}(2)\]}

_{*Nếu thang chuyển động với vận tốc v1, đồng thời người đi bộ trên thang với vận tốc v2 thì chiều dài thang được tính:}

\[\frac{s}{{{t_1}}} + \frac{s}{{{t_2}}} = \frac{s}{t} \Leftrightarrow \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_2}}} = \frac{1}{t}\]

\[ \Leftrightarrow t = \frac{{{t_1}.{t_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \frac{{1.3}}{{1 + 3}} = \frac{3}{4} = 0,75'\]

Tương tự:

9.1 Một cầu thang cuốn đưa hành khách từ tầng trệt lên tầng lầu trong siêu thị. Cầu thang trên đưa một người hành khách đứng yên lên lầu trong thời gian t₁ = 30s. Nếu  cầu thang không chuyển động thì người hành khách đó phải đi mất thời gian t₂ = 90s. Hỏi nếu cầu thang chuyển động, đồng thời người khách đi trên nó thì phải mất bao lâu để đưa người đó lên lầu.

Bài 10: Từ một điểm A trên con sông thẳng, cùng lúc có một cái phao trôi theo dòng nước và một con cá bơi xuôi dòng đến một cái cầu C cách A 4,5km rồi ngay lập tức cá bơi ngược trở lại gặp phao tại một điểm B cách A 3km hết thời gian là 1 giờ. Biết rằng nước chảy ổn định và vận tốc của cá so với dòng nước là không đổi.                  

a.       Tìm vận tốc của dòng nước và vận tốc của cá so với dòng nước. 

b.      Giả sử sau khi gặp phao con cá bơi quay lại đến cầu C rồi lại bơi ngược dòng tới gặp phao, lại bơi quay lại cầu C, cứ thế bơi qua lại giữa phao và cầu C... cuối cùng dừng lại cùng phao tại cầu C. Tìm độ dài quãng đường mà cá đã bơi được.  

Hướng dẫn giải: 

Phao trôi theo dòng nước nên vận tốc của dòng nước là:

\[{v_0} = \frac{{AB}}{t} = \frac{3}{1} = 3km/h\]

Gọi vận tốc của con cá so với dòng nước là v (km/h); v>0. Thời gian cá bơi hết đoạn AC (xuôi dòng) và đoạn CB = AC – AB = 1,5km (ngược dòng) lần lượt là:

\[{t_x} = \frac{{AC}}{{v + {v_0}}} = \frac{{4,5}}{{v + 3}}\]

\[{t_n} = \frac{{CB}}{{v - {v_0}}} = \frac{{1,5}}{{v - 3}}\]

Tổng thời gian trên hết 1h nên:    

\[\frac{{4,5}}{{v + 3}} + \frac{{1,5}}{{v - 3}} = 1\]

 Suy ra  v = 6km/h

Trong khoảng giữa hai lần gặp phao liên tiếp, hiệu quãng đường cá bơi xuôi tới C và bơi ngược lại gặp phao đúng bằng quãng đường phao trôi. Lần nào cũng vậy. Do đó:                

       S_x­ – S_n = S_P = AC = 4,5                                   (1)

          (S_x­ ; S_n và S_P  lần lượt là tổng quãng đường cá bơi xuôi; bơi ngược và tổng quãng đường phao trôi)

Tổng thời gian bơi xuôi và ngược của cá bằng thời gian phao trôi, ta được:

\[\frac{{{S_x}}}{{v + {v_0}}} + \frac{{{S_n}}}{{v - {v_0}}} = \frac{{AC}}{{{v_0}}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{S_x}}}{9} + \frac{{{S_n}}}{3} = 1,5(2)\]

Giải hệ (1) và (2) được:                     S_x­ = 6,75km ; S_n = 2,25 km

Vậy tổng quãng đường cá bơi là:      S= S_x­ + S_n = 6,75 + 2,25 = 9km

Bài tập tương tự: 1.Từ một điểm A trên con sông thẳng, cùng lúc có một cái phao trôi theo dòng nước và một con cá bơi xuôi dòng đến một cái cầu C cách A 3,75km rồi ngay lập tức cá bơi ngược trở lại gặp phao tại một điểm B cách A 1,5km hết thời gian là 0,5 giờ. Biết rằng nước chảy ổn định và vận tốc của cá so với dòng nước là không đổi.                  

a.   Tìm vận tốc của dòng nước và vận tốc của cá so với dòng nước. 

b.    Giả sử sau khi gặp phao con cá bơi quay lại đến cầu C rồi lại bơi ngược dòng tới gặp phao, lại bơi quay lại cầu C, cứ thế bơi qua lại giữa phao và cầu C... cuối cùng dừng lại cùng phao tại cầu C. Tìm độ dài quãng đường mà cá đã bơi được.

2. Một cậu bé đi lên núi với vận tốc 1m/s. Khi còn cách đỉnh núi 100m, cậu bé thả một con chó và nó bắt đầu chạy đi chạy lại giữa cậu bé và đỉnh núi. Con chó chạy lên đỉnh núi với vận tốc 3m/s và chạy lại phía cậu bé với vận tốc 5m/s. Tìm quãng đường mà con chó đã chạy được từ lúc được thả đến lúc cậu bé lên tới đỉnh núi.

Bài11:   Một ca nô đang đi ngược dòng thì gặp một bè đang trôi xuôi. Sau khi gặp bè 30 phút thì động cơ ca nô bị hỏng . Sau 15 phút  thì sửa xong, ca nô lập tức quay lại đuổi theo bè( với vận tốc của ca nô đối với nước là không đổi) và gặp lại bè ở điểm gặp cách điểm gặp trước một đoạn l=2,5 km. Tìm vận tốc của dòng nước?(2km/h)

Đổi 30 phút =0,5h; 15phút= 0,25h.

Gọi vận tốc của ca nô đối với nước là v₁(km/h); vận tốc của nước là v₂(km/h) v₁>v₂>0

Quãng đường bè trôi được sau 30 phút là: S_b1=0,5v₂

Quãng đường ca nô đi được sau 30 phút là: S_c=0,5(v₁-v₂)

Lúc hỏng máy ca nô cách bè là: s= S_b1+S_c= 0,5v₁

Trong  thời gian sửa máy ca nô và bè cùng trôi theo dòng nước nên khoảng cách giữa chúng không đổi.

Khi sửa máy xong ca nô đi xuôi dòng nước (cùng chiều với bè). Thời gian đuổi kịp bè là:
\[t = \frac{S}{{({v_1} + {v_2}) - {v_2}}} = \frac{{0,5{v_1}}}{{{v_1}}} = 0,5(h)\]

Thời gian giữa hai lần gặp là: t’= 0,5+0,25+0,5=1,25(h)

Vận tốc dòng nước là: \[{v_2} = \frac{l}{{t'}} = \frac{{2,5}}{{1,25}} = 2(km/h)\]